随机变量的数字特征
期望
$E(X) = \sum_{x} x \cdot P(X=x)$, 如果不存在, 那么X的数学期望就不存在
连续性: $E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx$, 如果不存在, 那么X的数学期望就不存在
常见分布
- $X~B(1, p) = np$
- $X~B(n, p) = np$
- $X~U(a, b) = \frac{a+b}{2}$
- $X~N(\mu, \sigma^2) = \mu$
- $X~P(\lambda) = \lambda$
- $X~E(\lambda) = \frac{1}{\lambda}$
随机变量函数的数学期望
定理3-1
Y是随机变量X的函数, 即$Y = g(X)$
- 如果X为离散型, 则$E(Y) = \sum_{x} g(x) \cdot P(X=x)$
- 如果X为连续型, 则$E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \cdot f(x) dx$
简单理解就是这个函数的期望值就是加权平均值
二维随机向量
$Eg(X, Y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x, y) \cdot f(x, y) dx dy$
方差
描述随机变量与期望的偏离程度
$D(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2$
方差是$g(X) = (X - EX)^2$的期望
方差的性质
- $DC = 0$
- $D(aX + b) = a^2D(X)$
- $DX < E(X - C)^2$
- 当X, 和Y独立时, $D(X + Y) = DX + DY$
- $DX = 0$的充分必要条件是$P{X = C} = 1$, x为常数的概率为1
常见方差
- $X~B(1, p) = p(1-p)$
- $X~B(n, p) = np(1-p)$
- $X~U(a, b) = \frac{(b-a)^2}{12}$
- $X~N(\mu, \sigma^2) = \sigma^2$
- $X~P(\lambda) = \lambda$
- $X~E(\lambda) = \frac{1}{\lambda^2}$